Beszélgetés a Wolf-díjas Lovász László akadémikussal

---

A vele készített elsõ nagyobb interjúm húsz éve jelent meg a Természet Világában. A hetvenes évek végén a szegedi József Attila Tudományegyetem tanszékvezetõ egyetemi tanára volt, és a legfiatalabb akadémikusunk. Lovász Lászlót a Magyar Tudományos Akadémia 31 évesen választotta tagjai sorába. Akkor már látszott, magas ívû pályára vezérli nem mindennapi tehetsége, szakmán túli emberi kvalitása. Csak el ne térítsék szirénhangok, ne hibázzon, aggódtak érte a közép-európai tapasztalatokon edzõdött barátok. Lovász László nem hibázott. Az értékeket, amiket útravalóul kapott, megsokszorozta. Csendes szorgalmával, veleszületett zsenialitással. A matematikus közösség pedig díjakkal, elismerõ felkérésekkel és megbízásokkal ismerte el eredményességét. Legutóbb, 1999-ben megkapta a matematikusok Nobel-díjának tartott Wolf-díjat.

  Két évtized telt el elsõ, a nyilvánosságnak szánt beszélgetésünk óta. Közben nagyot fordult velünk a világ. A megbeszélt találkozónkra sietve, a Blaha Lujza tértõl az Astoriáig megszólaltak a kétség hangjai: mi lesz, ha õ is megváltozott, mit kezdjek akkor majd azzal a meseszerû, bátorítást adó képpel, melyet megõriztem, megõriztünk róla? Megérkeztem, és pár perc múlva tovatûntek aggodalmaim.
 
 

– Elõször is szeretném megköszönni azt a nagy-nagy örömet, amit a jó hírrel szereztél nekünk 1999 elején. Akkor tudtuk meg, hogy Wolf-díjjal tüntettek ki, ami a matematikusoknak adható legnagyobb elismerés.

– Köszönöm, hogy ezt mondod. Odafigyelésetek, a sok jó szó, amit itthonról kaptam, fokozta azt az örömet, amit a megtisztelõ díj után éreztem.

– A Wolf-díj hivatalosan is a matematika halhatatlanjai közé sorolt. Olyanok mellé, mint Andrej Kolmogorov, André Weil, vagy a magyarok közül Erdõs Pál és Lax Péter.

– Meglepetésként ért a díj. Nagyon nehéz a különbözõ területeken dolgozó emberek tevékenységét, eredményeit összemérni. Én ráadásul kutatásaimban sokfelé elkalandoztam: számításelmélet, operációkutatás...

– Mikor kezdtél elõször gyanakodni? Gondolom, voltak elõjelei a készülõ „merényletnek”.

– Nem nagyon vettem észre.

– Lehet ilyesmit ennyire titokban tartani?

– Nem tudom. Igaz, korábban kértek tõlem szakmai önéletrajzot, publikációjegyzéket, az egyetemtõl arcképet... De sem a kollégáim, akikrõl végül kiderült, hogy fölterjesztettek, sem a tanszékvezetõ nem árulta el, hogy mire kellenek. Annyi mindenre kérnek tõlünk adatokat, hogy abból még semmire nem következtethetünk. Így azután, amikor egyik reggel feleségem elolvasta izraeli ismerõseink, barátaink e-mail üzenetét, gratulációit, hogy Wolf-díjas lettem, ez a hír mindkettõnket meglepett. Kati gyorsan fölhívta édesanyját, hogy megossza vele örömét, de már nem mondhatott újat, Budapesten tudtak róla.

– Mi a Magyar Távirati Iroda híradásából értesülhettünk errõl. Abban pedig úgy szerepeltél, mint a Yale Egyetem magyar származású amerikai matematikusa. Ez bosszantó volt. Miként az is, hogy errõl a sikerrõl a média, tisztelet a kivételnek, nem tudósított az értékét megilletõ helyen és terjedelemben. Bezzeg a világ élvonalába a legnagyobb jóindulattal sem sorolható labdarúgóink és kosarasunk minden külhoni megmozdulását pontosan nyomon követhetjük. Ezeknek van hírértékük, annak nem, hogy például Lovász László a világ valamelyik vezetõ egyetemén tartott elõadást az algoritmuselméletben elért legújabb sikereirõl. Másutt is ilyen az értékrend?

– Ilyen. Sok esetben még rosszabb is a miénknél. Magyarországon nagy visszhangot keltett a díjam. Nagyon sokan tudtak róla, nem csak a szûkebb szakma. Sokan érdeklõdtek, több helyre meghívtak... Amerikában lényegesen kisebb visszhangja volt. A Wolf-díjról csak röviden írt a napi sajtó. New Havenben, ahol tanítottam, a helyi újságot nem nagyon érdekelte a hír.

– A Wolf-díjat a kitüntetettnek, úgy tudom, Izrael elnöke adja át a knesszetben. Kérlek, mesélj arról, milyen külsõségek mellett zajlott a díj átadása.

– Nagyon szép és ünnepélyes volt. Családommal együtt egy hétig vendégül láttak. A hét közepén adták át a Wolf-díjat. Sok meghívott jelenlétében az államelnök, a knesszet elnöke és az oktatási miniszter tartott beszédet.

– Régi zakó volt rajtad?

– Nem, új öltönyt vettem.

– Ilyenkor szólniuk kell a kitüntetetteknek is?

– Igen, ez a szokás. A hagyományhoz tartozik, hogy matematikából két díjat adnak ki. Szerteágazó, széles horizontú tudomány a miénk, ezért a díjkiosztók arra törekednek, hogy a díjazottak kutatási területei minél jobban lefedjék a matematikát. A másik kitüntetettel, Elias Stein professzorral abban egyeztünk meg, hogy a knesszetben mindkettõnk nevében õ mond köszönetet, az utána következõ vacsorán pedig én.

– Volt a pohárköszöntõdben cseppnyi matematika?

– Inkább csak vicces formában...

– Szabad megtudnunk, mit mondtál?

– Arra a kérdésre, megváltoztatja-e életünket ez a díj, azt válaszoltam, remélem, nem, bízom abban, hogy nekünk továbbra is a matematika ad munkát és örömet. A mi életünk már ezzel van átitatva. Az a hét például, amelyet Jeruzsálemben töltöttünk, egy újabb matematikai kérdés megfogalmazásához vezetett: miként lehet egy város utcáit úgy egyirányúvá tenni, hogy a lehetõ leghosszabb ideig tartson egyik pontjából a másikba eljutni?

– A Wolf-díjat általában az életmû elismeréseként adják. Ehhez azért még fiatal vagy. Munkásságod korántsem tekinthetõ lezártnak. Mit gondolsz, mivel érdemelted ki 51 évesen ezt a díjat?

– Szerencsém volt, hogy olyan területen kezdtem dolgozni, ami robbanásszerûen fejlõdött az elmúlt húsz évben. Ez az algoritmuselmélet, a diszkrét matematika számítástechnikai alkalmazásai. Idõközben több eredményem bekerült e terület fõsodrába. Ezeknek pedig már jól látható a hatásuk. Tulajdonképpen ez a díjra érdemes életmû definíciója.

– Az életben a szerencse sem véletlenszerûen pártol emberekhez. A matematikában legtöbbnyire azoknak van szerencséjük, akik azt tehetségükkel, munkájukkal kiérdemlik. Nem véletlenül nyertél meg diákkorodban szinte minden matematikaversenyt, lettél még egyetemistaként kandidátus, 31 évesen akadémikus. Tehát nem csak a szerencsének tudható be, hogy már nagyon fiatalon eredményes voltál; „jöttek” az eredmények.

– Nem tudom... Nyilván adottság is kell hozzá, meg talán munkabírás... Azért változatlanul úgy érzem, életemnek számos szerencsés fordulata volt. A matematikában és a magánéletemben. Igazából sehol sem akadtam el. Szerencsémnek tartom, hogy a Fazekas Mihály Gyakorlógimnáziumban akkor indult speciális matematikatagozatos osztály, amikor gimnazista lettem. Ez meghatározta életemet.

– Komjáth Péter, aki szintén a Fazekasban volt diák, majd tõled örökölte az Eötvös Loránd Tudományegyetem számítógép-tudományi tanszékét, így fogalmazott: „Lovász László érzékeny a tudomány paradigmaváltásaira. A véges matematika minden lényeges változásánál »ott volt«, egyik úttörõje az algoritmikus gondolkodásmód elterjesztésének.” Mindez azt sugallja, jó áttekintésed van a matematika egészérõl. Tõled tehát nyugodtan megkérdezhetem, a közelgõ új évezred is ilyen kérdésekre késztet: milyen jövõt jósolsz a matematikának?

– A matematika alapvetõ tudomány. A tudományos gondolkodás módszertana a matematikán alapszik. Nem hiszem, hogy a matematika a jövõ évszázadban gyökeresen megváltozna. Amikor az ókori görög matematikusok eredményeivel szembesülünk, gyakran megdöbbenünk: mennyire azonos a gondolkodásmódunk! Ilyen távolból is világosan érezni, õk a mi kollégáink. Kissé közelebbrõl nézve láthatjuk, mennyi minden történik a matematikában. A számítógépek elterjedése például nagyon befolyásolja a matematika fejlõdését. Ez temérdek, részben új problémát vet fel, mert a számítógépek legalább olyan bonyolultak és nehezen érthetõek, mint a biológiai rendszerek és valószínûleg sokkal komplikáltabbak és fajsúlyosabbak, mint a klasszikus fizika. Ezért azután másfajta módszerek kellenek ahhoz, hogy uraljuk õket.

A változás másik fontos tényezõje a mai tudomány megnövekedett mérete. Soha ennyien nem mûvelték a matematikát, mint korunkban. Nagyon sok matematikus munkálkodik, emiatt komoly nehézségek vannak a kommunikációban. A matematikusok közössége egyre inkább érzi tudománya szétforgácsolódását és igyekszik harcolni ellene. Nem elvi vagy hangulati oka van annak, hogy nem örülünk tudományunk szétesésének különbözõ diszciplínákra. Azért baj ez, mert a mélyben összefonódnak a gyökerek, ugyanarról van szó, még ha különbözõ okokból más-más nyelven kezdünk róla beszélni.

– A tudomány exponenciális növekedése nem új keletû. Kíváncsi vagyok, az alábbi idézet idõpontját hová tennéd: „Méltóztassék már most megtekinteni azt a folyóirattömeget, mely egy tudományszakban évenként megjelenik vagy csak egy bibliográfiai munkát is, mely ezt az évi produkciót feldolgozza. Vajon követheti, kiválogathatja, megszûrheti, magáévá teheti-e mindezt egyetlen agyvelõ, még akkor is, ha csak egy kisebb tárgykörre specializálódik? Igen, mert ennek a produkciónak a legértékesebb része, melyet a hivatott szem gyorsan kiválaszt, azt a célt szolgálja, amit Mach, a híres bécsi fizikus, az »Ökonomie des Denkes« névvel jelölt meg. Magyarul ez takarékosságot jelent a gondolkodásban.” Mit gondolsz errõl a szövegrõl?

– Huszadik század eleji lehet...

– Majdnem eltaláltad! Az idézet Riesz Frigyes rektori székfoglaló beszédébõl való, 1925. október 11-én tartotta Szegeden, a királyi Ferencz József Tudományegyetemen. Ahol jóval késõbb neked is katedrád volt. Azért megdöbbentõ, hogy 1925-ben már ilyeneket mondtak.

– Igen, igen, az ehhez fûzõdõ érzések azonban relatívak. Mai szemmel nézve az 1925-ös helyzet egyszerûbb és áttekinthetõbb volt. A matematika kulcsszereplõi valószínûleg mindannyian ismerték egymást. Ma sokkal súlyosabb a helyzet. Egyre nagyobb az igény arra, hogy közvetítsük egymásnak, lefordítsuk a másik nyelvére a matematikát. Ne csak alkossuk a matematikát, hanem építsük fel az egymás kutatási területeit összekötõ hidakat. Meg kell találnunk a kapcsolódási pontokat, melyek segítségével elmagyarázhatjuk, mi abban az érdekes és fontos, amit kutatunk.

– Milyenek legyenek ezek a hidak és kiknek kellene azokat felépítenünk?

– Különféle modellek léteznek. A 2000. évben több konferencián igyekeznek összegyûjteni a matematika különbözõ ágainak vezetõ egyéniségeit. Nekik kellene egymásnak és a konferencia kiadványai révén a szélesebb közösségnek világosan elmondaniuk, hogy mi is történik tudományterületükön távolabbról nézve. Ez nehéz mûfaj, amit még tanulnunk kell.

Az egyetemen a matematika több területérõl kaphatunk képet, amit az elõadók ízlése befolyásolt. Harminc év múltával visszatekintve, nekünk a legjobb esetben is 20-25 évvel korábbi eredményeket tanítottak. A tankönyvekbe kerülõ anyag többnyire a tudomány száz évvel korábbi helyzetét tükrözte. Ugyanakkor a 20. században a matematika nagyon sokat fejlõdött, szinte hihetetlen eredmények születtek. Talán a leglátványosabb volt a Fermat-sejtés megoldása, mely Andrew Wiles nevéhez fûzõdik. A századfordulón, 1900-ban Hilbert megfogalmazta azokat a problémákat, melyeket századunk nagy kihívásainak tartott. Úgy gondolta, többségük megoldatlan marad. Ezek a kérdések mára lényegében mind tisztázódtak. Némelyikrõl kiderült, hogy úgy megfogalmazva nem is igazán jó, másokat viszonylag könnyen megoldottak.

– Úgy tûnik, minden rendben megy. Mi akkor a gond?

– Nagyon fontosnak tartom a matematikának és a tudományunkon kívüli intelligenciának a viszonyát. Itt rosszabb a helyzet, mint kellene. Ezt már a matematikus közösség is kezdi fölismerni. Nagyobb erõfeszítéseket kell tennünk arra, hogy érthetõen elmagyarázzuk a nagyközönségnek: a matematika él, létezik, kiszakíthatatlanul benne foglaltatik mindennapjainkban. Amikor például CD-ROM-unkat a gépünkbe tesszük, ahhoz, hogy tökéletes minõségben fölcsendüljön a zene, komoly algebrai kódoláselméleti módszerek kellenek.

– A modern matematika sikereinek közkinccsé tétele nehéz vállalkozás. A matematika nyelvét nem mindenki beszéli, érti. Szerencsés eset, amikor a nehéz probléma közérthetõen megfogalmazható. Ezért lehetett a Fermat-sejtés megoldása jól elõadható sikertörténet a médiában. A mai matematika legtöbb kérdésfelvetésének csupán a megértéséhez szinte egy kisebb kurzust kellene tartani.

– Azért, ha belegondolsz, a Fermat-sejtés megoldásában a döntõ lépés az volt, amikor kiderült a kapcsolat a Shimura– Taniyama– Weil-sejtéssel, azaz sikerült átfogalmazni az alapkérdést az elliptikus egyenletek nyelvére. Így kerülhetett Wiles kezébe erõs és hatékony eszköz, amit kihasználva legyõzte a több száz éves problémát. Ennek az eszközrendszernek a megvilágításához, természetesen, ahogyan mondtad, már külön kurzus kellene. Azért nem minden mai matematikai probléma ilyen. Éppen a számítógépekhez kötõdõen kerültek felszínre egyszerûen megfogalmazható alapvetõ problémák. Például felírok tízezer 0-ból és 1-bõl álló sorozatot és odaadom neked, döntsd el, pénzfeldobással kaptam, avagy valamilyen más eljárással, algoritmussal generáltam. Becsaphatlak-e egy ilyen sorozattal...

– Annyit azért tudok, legutóbb Laczkovich Miklós „Koincidenciák és egyéb kis valószínûségû események” cikkében is szó esett róla, hogy ha nincsenek benne hatos vagy hetes összefüggõ, 0-ás vagy 1-es sorozatok, akkor minden bizonnyal nem véletlenszerûen állítottad össze a sorozatot.

– Így bukhatok le, de ezt én is tudom! Most azonban egy tesztet végzek veled. Ahhoz, hogy ebbõl matematikai probléma legyen, pontosan kell megfogalmaznom cselekvési lehetõségeinket. Az egyik lehetõség, ha pénzdobással állítom elõ, ez könnyû eset; a másik, amikor algoritmussal számolom a sorozatot. Itt már precízen meg kell fogalmazom azt, hogy milyen algoritmust engedek meg magamnak. Ugyanakkor azt is pontosítanunk kell, te milyen algoritmust használhatsz ahhoz, hogy eldönthesd, a két sorozat közül melyiket miként állítottam elõ. A mai számítógép-tudománynak ez a kérdés alapvetõ, megoldatlan problémája.

– Szakmád határához érkeztünk. Kérlek, vezess kissé beljebb minket. Mi az algoritmuselmélet? Miért vált ez a terület ma oly élõvé és fontossá? Mik itt a legnehezebb kérdések?

– Nagyon egyszerû példával kezdem. Vegyünk egy pozitív egész számot, mondjuk a 17-et. Ez prímszám, mert nem írhatjuk fel két, nála kisebb pozitív egész szám szorzataként. A nem prímszámok fölbonthatók két, esetleg több prímszám szorzatára. Kérdés, miként lehet eldönteni egy pozitív egész számról, prím vagy sem. S ha már eldöntöttük, hogy összetett szám, akkor miként állíthatjuk elõ felbontását prímtényezõk szorzatára. Ezzel korábban kevesen foglalkoztak. Gauss ugyan megvizsgálta, õ azonban papíron számolt, így eleve viszonylag kis számokig juthatott. Az ötvenes, hatvanas években azután, ahogyan a számítógépek elterjedtek, egyre nagyobb számok hovatartozását döntötték el. Akkor ez a problémakör teljesen absztraktnak tûnt, hiszen miért is érdekelné az embereket, hogy mondjuk egy ötszáz jegyû szám prím vagy sem. A hetvenes évek végén villámcsapásszerûen jött a felismerés: a polgári célú kriptográfia, a vele szorosan összefüggõ adatvédelem ennek a megválaszolhatóságán alapszik. A kulcskérdés tehát az, miként lehet ellenõrizni, hogy ilyen szám prím-e – ez a viszonylag könnyebb feladat – , s ha már kiderült, hogy nem prím, akkor miként lehet felbontani tényezõire; ez a lényegesen nehezebb feladat. Megoldásán nagyon sokan dolgoznak, bevetve a számelmélet eddig kiépített nehézfegyverzetét.

Az utóbbi tíz évben sokat dolgoztam azon, hogyan lehet egy test térfogatát számítógéppel kiszámítani. A kérdés persze akkor érdekes, ha a test nem három, hanem sok dimenziós. Mindez csupán matematikai konstrukció. Már a század elején tisztázták, hogyan lehet definiálni, mérni magas dimenzióban egy lezárt területet. Amikor számítógéppel igyekeztek kiszámítani az ilyen test térfogatát, kiderült, hogy az eddig bevált egyszerû módszerek nem eredményesek. Három dimenzióban jól alkalmazható eljárás, hogy a testet egy csúcsától kiindulva egyszerûbb testekre bontom, azok térfogatát kiszámítom, majd összegzem. A dimenzió növekedésével azonban olyan sok kis test keletkezik, ami reménytelenül bonyolítja a számítást. Gyökeresen más módszerre van szükség a megoldáshoz. Az algoritmuselmélet abból a kérdésbõl nõtt ki, miként is lehetne valamit számítógépen megcsinálni. Az egészben az a legérdekesebb, hogy ez a kérdésfelvetés, mely gyökeresen fölforgatja a hagyományokat, lezártnak hitt tudásunkat, olyan világot teremt, ahol az újak mellett nagymértékben igénybe vesszük a matematika mély, hagyományos eszközeit.

– Gondolom, az algoritmuselméletben nagyon sok olyan nehéz kérdés van, amit még csak próbálgattok megemelni.

– Igen. A legnehezebb kérdések azok, amelyekre a várható válasz az, hogy valószínûleg nem oldható meg hatékonyan számítógéppel. Semmilyen algoritmussal. Nagyon sok esetben gyanítjuk ezt, de nagyon kevésszer tudjuk bebizonyítani.

– Miért érdemes azt bebizonyítani, hogy valamely kérdésnek számítógéppel nem lehet a végére járni?

– Mert nagyon sok adatbiztonsági eszköz mûködése ennek a feltételezésén alapszik. Ezért lett alapvetõ fontosságú például az a semlegesnek tûnõ kérdés, hogy egy 500 jegyû számot, ha arról kiderült, hogy nem prím, számítógépes programmal, nem csillagászati idõ alatt fölbonthatunk-e tényezõire. Az egész bankrendszer összeomlana, ha valakinek sikerülne ilyen algoritmust írnia. Megfordítva is igaz: ha valaki bebizonyítaná, hogy ez nem lehetséges, ilyen algoritmus nem létezik, akkor a bankok nyugodtabban alkalmazhatnák biztonsági rendszerünkben az ezen alapuló adatvédelmi módszereket.

– Azt ugye már tudjuk, hogy vannak algoritmussal nem megoldható problémák.

– Már a harmincas években találtak ilyeneket. Ezek felismerése Church nevéhez fûzõdik. Esetünkben azonban finomabb mértékrõl van szó: algoritmussal, nem csillagászati idõ alatt megoldható-e a feladat. Mert például a már említett 500 jegyû számot felbonthatom tényezõire algoritmussal. Egyszerûen veszem az összes, nála kisebb számot – persze ennél jóval kevesebbel is célhoz érek – , majd sorra veszem, osztó-e valamelyik, és kész a megoldás. „Mindössze” az a baj, hogy legfeljebb 500 jegyû számból több van, mint csillag az égen. Ilyen algoritmus szerinti számolás a világegyetem végezetéig sem fejezõdne be. Az igazi kérdés tehát nem az, hogy a probléma egyáltalán megoldható-e algoritmussal, hanem az, hatékonyan megoldható-e. A hatékonyan azt jelenti, hogy reális idõ alatt. E téren nagyon sok kérdés megválaszolatlan, szinte mindegyik az.

– Katona Gyula az Algoritmusok bonyolultsága címû írását tanulságként egy „ördögi történettel” fejezte be. „A Sátán megkísérti a számítástudóst. – Pénzt adok, gazdagságot, tied lesznek a legszebb nõk, a legjobb kocsik, ha engem szolgálsz. A tudós elgondolkodik, nagyon szeretne gazdag lenni, nem is szólva a nõkrõl. De a becsület! Mégis, van valami, amiért érdemes eladni a lelkét. – Rendben, a szolgád leszek, ha megmondod, hogy P = NP vagy nem, és ha nem, mi a megoldás? – Nagyszerû, nem vagy te olyan együgyû! – örvendezik a Sátán. Holnap hozom a megoldást. De se másnap, se a rákövetkezõ héten nem jön. Csak egy hónap múlva. – Nem megy! A Nagy Hacker mindig belép, leállítja a számításokat!” Szerinted se megy majd?

– Hát, a P = NP tényleg alapvetõ kérdése a matematikának.

– Mondanál errõl valamivel többet?

– Nagyon sok olyan algoritmikus probléma van, aminél ha ráhibázunk a megoldásra, már könnyû ellenõrizni, hogy az jó-e. Például egy óriás számról szeretnénk eldönteni, hogy prímszám vagy sem. Ha rátalálunk egy osztójára, akkor egyszerû az ellenõrzés. A számítógép az osztást sok ezer jegyû számokkal is könnyen, gyorsan elvégzi. Temérdek matematikai feladatnak ugyanilyen a logikai szerkezete. Ezeket a problémákat nevezik NP-nek. Az NP a nemdeterminisztikusan polinomiális kifejezést takarja.

– A kérdés az, ha egy probléma ilyen szerkezetû, abból következik-e, hogy hatékonyan kiszámítható. Tehát képesek vagyunk-e megkeresni azt, amit ha egyszer megtalálunk, már könnyen ellenõrizhetjük, hogy jó-e. Ez a P. A P = NP azt jelentené, hogy ilyen problémára, amit szokás keresõ feladatnak nevezni, készíthetõ hatékony algoritmus. Ez a számítástudomány alapkérdése. A várt válasz: nem!

– A matematikusok többsége olyannyira hisz a nemben, hogy állítólag, amikor valaki negyvenoldalas cikkben a P=NP igazát vélte bizonyítani, senki sem vállalta az ellenõrzést. Sajnálták rá az idõt. Csak három év múlva mutattak rá a hibára.

– A P = NP kérdése a hatvanas évek végén vetõdött fel, s ahogyan az évtizedek múltak, lett egyre világosabb, mennyire nehéz. Ma úgy tûnik, hogy hagyományos eszközökkel ez a probléma megközelíthetetlen. Ugyanabban a cipõben lehetünk, mint a görög matematikusok, akik nem boldogultak a kockakettõzéssel, a szögharmadolással, a szabályos hétszög megszerkesztésével. Ahhoz, hogy Gauss bebizonyíthassa, a szabályos hétszög nem szerkeszthetõ, a matematikában hatalmas fogalmi változásnak kellett lezajlania. A geometria mellé kifejlõdött az algebra, a valós és a komplex számok elmélete, az egyenletek megoldhatóságának kérdésköre. Mindezek a szerkeszthetõségtõl függetlenül zajlottak. Azután egyszerre a kép összeállt, s ma már egy gimnáziumi szakkörön is nyugodtan végigmehetünk azon a gondolatsoron, hogy a szabályos hétszög miért nem szerkeszthetõ meg körzõvel és vonalzóval. Ma ezt azért tehetjük meg, mert egykoron a matematikának a geometriától távol állónak hitt területén történt valami, felsejlett egy új világ. Úgy érzem, valami hasonlónak kell bekövetkeznie a diszkrét matematikában, a logikában is ahhoz, hogy válaszolhassunk arra, miért nem lehet P=NP. A „miért nem lehet” jellegû kérdéseket mindig sokkal nehezebb megválaszolni. Nincs meg a természetes hozzáállás, hiányoznak a megfelelõ módszerek. A bizonyításhoz ki kell épülnie körülötte valaminek, valamilyen elméletnek, melynek segítségével általánosabban, átfogóbban tekinthetünk a kérdésre. Ma még nem tartunk itt.

– Mikor érünk oda?

– A matematikát sokan mûvelik, ezért fejlõdése igencsak felgyorsult. Nem hiszem, hogy ez a probléma száz évig megoldatlan maradna. Talán ötven évig...