A k�vetez�kben a projekt�v geometria alapjaival, a homog�n koordin�t�kkal �s azokkal egyszer�s�tett, m�r t�rgyalt transzform�ci�kkal ismerked�nk meg, mintegy kieg�sz�t�sk�nt az eddigiekhez. Er�sen elm�leti alapon �s a teljess�g ig�nye n�lk�l t�rgyaljuk a megfelel� r�szeket, ez�rt a cikk els�sorban azoknak aj�nlhat� akik m�r m�lyebben megismerkedtek a matematika rejtelmeivel. Mott�:" A semmib�l teremtettem egy �j, m�s vil�got." A k�vetez�kben a projekt�v geometria alapjaival, a homog�n koordin�t�kkal �s azokkal egyszer�s�tett, m�r t�rgyalt transzform�ci�kkal ismerked�nk meg, mintegy kieg�sz�t�sk�nt az eddigiekhez. Er�sen elm�leti alapon �s a teljess�g ig�nye n�lk�l t�rgyaljuk a megfelel� r�szeket, ez�rt a cikk azoknak aj�nlhat� akik m�r m�lyebben megismerkedtek a matematika rejtelmeivel. Viszont azok sz�m�ra is hasznos is lehet, akiknek m�g mindez nem mond t�l sokat, de k�s�bbi tanulm�nyaik sor�n tal�n j� haszn�t vehetik. Ebben az �ssze�ll�t�sban els�sorban az a c�lunk, hogy a k�l�nb�z� s�kbeli, �s t�rbeli transzform�ci�khoz olyan matematikai formalizmust tal�ljunk, melyet egyszer�en �s hat�konyan lehet algoritmiz�lni sz�m�t�g�pes rendszerekben. Az affin transzform�ci�k �s a vet�letk�pz�s m�veleteinek egys�ges, k�z�s le�r�s�hoz a homog�n koordin�t�k le�r�s�val juthatunk. K�sz�nhetj�k ezt Bolyai J�nosnak! Projekt�v geometria fogalma Az euklideszi t�rrel m�r mindenki megismerkedhetett tanulm�nyai sor�n, algebrai alapj�t pedig a Descartes koordin�tarendszer jelenti. Ezzel a rendszerrel mi magunk is b�ven foglalkoztunk m�r a sorozaton bel�l. De sajnos az euklideszi t�rben nem minden pont vet�thet� centr�lisan. A centr�lis projekci�ra lyukas (ide�lis t�relemek)! Gondoljunk csak bele, hogy mi t�rt�nik azokkal a pontokkal, amik p�rhuzamosak a k�ps�kkal. Ilyenkor a pontokat jellemez� vet�t�sugarak is p�rhuzamosak a k�ps�kkal, �s nem felel meg k�ppont az euklideszi geometri�ban. Ezek a pontok a "v�gtelenbe vet�lnek". Term�szetesen erre a probl�m�ra megold�st jelent a projekt�v geometria, ahol is a lyukas tereket "bet�mk�dik", "ide�lis t�relemekkel". A projekti geometria teh�t felfoghat� az euklideszi geometria �s az ide�lis pontok egyes�t�sek�nt. Felvet�dhet a k�rd�s, hogy mik�nt is lehet bet�mk�dni a lyukas tereket az euklideszi geometri�ban? A t�r minden egyes egyenes�t a k�z�ns�ges pontokon t�lmen�en egy ide�lis ponttal eg�sz�tj�k ki. Definici� szerint p�rhuzamos egyenesekhez egy ide�lis pont tartozik meyekben ezek "metszik" egym�st.Egy s�k ide�lis pontjai egy ide�lis egyenesen vannak . P�rhuzamos s�kok ide�lis egyenesei megegyeznek. A t�r ide�lis egyenesei egy s�kban vannak, a t�r ide�lis sikj�ban. Az ide�lis t�relemeket "v�gtelen" t�voli t�relemeknek is szokt�k nevezni. A sz�m�t�g�pes grafik�ban az ide�lis t�relemek bevezet�se az�rt nagyon fontos, mert a p�rhuzamos �s nem p�rhuzamos t�relemek kezel�se ezzel a m�dszerrel egys�gesen megoldhat�. A projektiv geometri�ban az algebrai alapot a homog�n koordin�t�k jelentik. Homog�n koordin�t�k fogalma Egy mondatban megfogalmazva arrol van sz�, hogy a 3D-s helyvektorainkat egy form�lis l�p�ssel n�gydimenzi�ss� eg�sz�tj�k ki. A t�r egy P pontj�hoz vezet� r=(x,y,z) vektort ezen t�l (w*x, w*y, w*z,w) alakban �rjuk. Term�szeten w egy nem nulla tetsz�leges sz�m. Ebb�l az �r�sm�db�l b�rmikor visszat�rhet�nk az eredeti 3D-s koordin�t�khoz, �gy hogy a vektor els� h�rom koordin�t�j�t elosztjuk a negyedikkel. Ezek alapj�n P(x,y,z) pont homog�n koordin�t�i a (w*x, w*y, w*z,w) sz�mn�gyes lesz. A defin�ci� alapj�n viszont P pontnak rengeteg homog�n koordin�t�ja lehet, a szerint hogy w-nek milyen �rt�ket v�lasztunk. Emiatt �rdemes w-nek egy konkr�t �rt�ket v�lasztani, mondjuk az egyet. Ekkor az x,y,z,1 koordin�tan�gyest a P pont normaliz�lt homog�n koordin�t�inak nevezz�k. Sajnos a 3D-s t�r homog�n koordin�t�it szeml�letesen nem tudjuk bemutatni, de 2D-s koordin�t�k eset�n m�r megoldhat� az �br�zol�s. Ekkor a s�kb�l ki kell l�pn�nk a t�rbe, �gy hogy az (x,y) alaps�kkal felvesz�nk egy p�rhuzamos s�kot a t�rbeli koordin�tarendszerben, ahol a felvett s�k elmetszi z-tengelyt az egyben. Ekkor az (x,y) s�kban l�v� pontunkat mer�legesen felvetj�k z=1 s�kra. A l�nyege ennek a rendszernek v�zlatosan ez volna. Hogy mi �rtelme van mindennek? A v�laszt erre neh�z r�viden megadni, de az biztos, hogy nem csup�n form�lis konstrukci�. Ezt matematikailag az euklideszi t�r �gynevezett projektiv lez�r�sa teszi sz�ks�gess�. Ami alatt az �rtj�k, hogy a teret kieg�sz�tj�k ide�lis t�relemekkel. Az�rt fontos jobban megismerkedn�nk a homog�n koordin�t�k fogalm�val mert a sz�m�t�g�pes grafik�ban az ide�lis vagy "v�gtelen" t�voli t�relemek bevezet�s�vel a p�rhuzamos �s nem p�rhuzamos t�relemek kezel�se egys�ges m�don megoldhat�v� v�lt. Ami �ltal sokkban leegyszer�s�dtek a transzform�ci�k programalgoritmusai! A homog�n koordin�t�k teh�t az n dimenzi�s t�r egy pontj�nak helyzet�t n+1 koordin�ta seg�ts�g�vel �rja le, oly m�don, hogy egy tetsz�leges null�t�l elt�r� �rt�kkel az eredeti n dimenzi�s t�rben �rtelmezett koordin�t�kat megszorozzuk �s ezt a konstanst tekintj�k az n+1-dik koordin�t�nak. Az n dimenzi�s t�r egy pontja (x1, x2, x3, ..., xn) homog�n koordin�t�kkal kifejezve (xh1, xh2, xh3, ..., xhn, w). Az eredeti n dimenzi�s �s a homog�n koordin�t�k k�z�tti kapcsolatot az xhi = xi * w �sszef�gg�s fejezi ki. �gy egy n dimenzi�s t�rben �rtelmezett pontnak v�gtelen sz�m� homog�n koordin�t�s megfelel�je l�tezik. P�ld�ul a s�k koordin�t�k (2D) eset�n egy pontnak a homog�n koordin�t�s t�rben (3D) egy az orig�n �thalad� egyenes felel meg. A legegyszer�bb, ha a homog�n koordin�t�s alakra t�rt�n� �tt�r�sn�l a szorz�t egynek v�lasztjuk, ekkor a homog�n �s az n dimenzi�s t�r koordin�t�i megegyeznek. Erre az�rt van sz�ks�g mert a definici� alapj�n �gy egy tetsz�leges P pontnak v�gtelen sok homog�n koordin�tja van, aszerint hogy w-nek milyen �rt�ket v�lasztunk A normaliz�lt �s a szok�sos t�rbeli koordint�k k�z�tt a fenti megfeleltet�s k�lcs�n�sen egy�rtelm�. Azaz ha P pont koordint�ja t�rben (x, y, z), akkor ennek megfelel� homog�n koordin�t�k a k�vetkez�ek lesznek, (x, y, z ,1). Viszont ha P pont homog�n koordin�t�ja (x, y, z, 1) akkor ennek megfelel� t�rbeli koordin�t�k a k�vetkez�ek lesznek, (x, y, z). Az eddig megismert transzform�ci�k, az eltol�s kiv�tel�vel mind elv�gezhet�k m�trixszorz�ssal is. Ez az�rt fontos, mert ezeknek a m�trixoknak a sorozatos szorzat�val, egym�s ut�n t�bb transzform�ci� is v�grehajthat�. A k�pet csak a m�r eml�tett eltol�s rontja el. Pontosan az�rt, hogy egys�gesen lehessen kezelni az eltol�st, a forgat�st, a ny�r�st, kell a homog�n koordin�t�s megad�shoz folyamodnunk. Ugyanis egy h�romdimenzi�s eltol�st nem er�ltethet�nk egy 3x3-as m�trixba, mert egyszer�en nincsen hely sz�m�ra. Ha azonban a m�trixot 4x4-esre b�v�tj�k ki akkor m�r az eltol�st is m�trixszorz�ssal kezelhetj�k. Ehhez persze a vektorunkat is ki kell b�v�teni n�gydimenzi�ss�. Pontosan ez�rt fontos a homog�n koordin�t�s megad�s. Mert �gy m�r minden geometriai transzform�ci�t m�trix m�veletek seg�ts�g�vel hajthatunk v�gre, t�bb egym�s ut�n v�grehajtand� transzform�ci� ered�j�t egy transzform�ci�s m�trixba foglalhatjuk �ssze, haszn�latuk �s az alkalmazott m�dszerek k�nnyen �ltal�nos�that�k az n dimenzi�s t�rre, v�gtelenbe lev� pontokat v�ges koordin�t�kkal fejezhet�nk ki. Geometriai sz�m�t�sok homog�n koordin�t�k seg�ts�g�vel Pont �s egyenes viszonya A 2D-s t�rben egy egyenes �ltal�nos alakj�t az a*x + b* y + c = 0 egyenlettel adhatjuk meg. Az y = m * x + b nem az egyenes �ltal�nos alakja, mivel ezzel a kifejez�ssel nem tudjuk le�rni az y tengellyel p�rhuzamos egyeneseket! Egy 2D-s pont koordin�t�i akkor el�g�ti ki az egyenes egyenlet�t, ha pont az egyenesre esik. A pont homog�n koordin�t�it haszn�lva az egyenes egyenlet�nek bal oldala az egyenes egy�tthat�ib�l alkotott vektor (e) �s a pont homog�n koordin�t�ib�l alkotott vektor (p) skal�ris szorzata. Az <e p> skal�ris szorzat eredm�ny�nek el�jele megadja, hogy a pont az egyenes melyik oldal�ra esik, az �rt�ke pedig ar�nyos a pont �s az egyenes t�vols�g�val. K�t ponton �tmen� egyenes (2D) Legyen p1 �s p2 k�t nem egybees� 2D-s pont homog�n koordin�t�s vektora. A k�t ponton �thalad� egyenes egyenlet�nek egy�tthat�i megegyeznek a p1 �s p2 vektorok vektori�lis szorzat�nak koordin�t�ival (e = p1 x p2). Mivel xh1 = x1 *w1, yh1 = y1 * w1 �s xh2 = x2 * w2, yh2 = y2 * w2, az a, b, c egy�tthat�kb�l kiemelhet�nk w1 * w2-t �s egyszer�s�thet�nk vele. Az egyenes egy�tthat�inak helyess�g�t k�nnyen ellen�rizhetj�k, a <p1 e> �s <p2 e> skal�ris szorzatok eredm�nye nulla. K�t egyenes metsz�spontja (2D) Vegy�k �szre, hogy a 2D t�r legegyszer�bb k�tdimenzi�s alakzata (egyenes) �s a kett�dimenzi�s pont homog�n koordin�t�s alakja h�rom elem� vektorral �rhat� le. Ezek alapj�n a k�t egyenes metsz�spontj�nak kisz�m�t�s�ra is alkalmazhat� a k�t ponton �tmen� egyenes egy�tthat�inak kisz�m�t�s�hoz fel�rt �sszef�gg�s. A kett�dimenzi�s t�rbe a homog�n koordin�t�val (w) val� oszt�s ut�n juthatunk vissza. A homog�n koordin�t�k alkalmaz�s�val a k�t ponton �thalad� egyenes �s a k�t egyenes metsz�spontj�nak meghat�roz�sa ugyanannak a matematikai probl�m�nak a megold�s�t jelenti. Ez az �ll�t�s az n dimenzi�s t�rre is �ltal�nos�that�. Ezt a dualit�s t�tel�nek nevezz�k. A k�tdimezi�s t�rben a pont �s az egyenes, a h�romdimenzi�s t�rben a pont �s a s�k az egym�snak megfelel� elem. Pont �s egyenes t�vols�ga Egy pont homog�n koordin�t�s vektora �s egy e egyenes egy�tthat� vektor�nak a skal�ris szorzata a pont �s az egyenes t�vols�g�val ar�nyos. A skal�ris szorzat norm�l�s�val a t�vols�got is megkaphatjuk. A p (xh, yh, w) pont �s az e (a, b, c) egyenes t�vols�ga (t): Egy ponton �thalad� �s adott egyenesre mer�leges egyenes egyenlete Adott egy p pont homog�n koordin�t�s vektora �s egy e egyenes egy�tthat� vektora. A keresett egyenes egy�tthat� vektor�t jel�lj�k f (d, e, f)-el. Az f egyenesnek �t kell mennie a p ponton <p f> = 0. Az f egyenes mer�leges e-re, ha ir�nyvektoraik skal�ris szorzata 0 (a*c+b*d=0). 3 ponton �tmen� s�k (3D) Pr�b�ljuk meg �ltal�nos�tani a a kett� dimenzi�ban alkalmazott k�t ponton �tmen� egyenes egyenlet�t. A h�romdimenzi�s t�rben egy pont homog�n koordin�t�s alakj�t n�gy koordin�t�val �rhatjuk le p (xh, yh, zh, w), egy s�k �ltal�nos egyenlete a * x + b * y + c * z + d = 0. K�sz�ts�k el a n�gydimenzi�s t�r egys�gvektor ir�nyaib�l �s a h�rom t�rbeli pont homog�n koordin�t�ib�l alkotott m�trixot �s k�pezz�k az egyes i, j, k, l ir�nyokhoz tartoz� aldetermin�nsokat, ezek adj�k a s�k egyenlet�nek egy�tthat�it (ezzel tulajdonk�ppen a 3D-s t�r vektori�lis szorzat�t �ltal�nos�tottuk). 2D-s transzform�ci�k Az elemi 2D-s geometriai transzform�ci�k 3x3-as m�trixok seg�ts�g�vel �rhat�k fel. Egy pont transzform�ci� ut�ni koordin�t�it a pont homog�n koordin�t�s vektora �s a transzform�ci�s m�trix szorzata adja. A transzform�ci�s m�trix 4 r�szre bomlik   1 forgat�s �s m�retar�ny v�ltoztat�s az x �s y tengely ment�n   2 eltol�s   3 projekt�v transzform�ci�   4 m�retar�ny v�lt�s mindk�t koordin�tatengely ment�n   Eltol�s Sk�l�z�s Az x �s y tengely ment�n elt�r� m�retszorz� be�ll�t�sa Az x �s y tengely ment�n azonos m�retszorz� be�ll�t�sa A sk�l�z�s seg�ts�g�vel az x illetve y tengely menti t�kr�z�st is v�grehajthatunk (Sx=-1, Sy=1 az x tengely menti t�kr�z�s). Orig� k�r�li forgat�s A pozit�v forg�si ir�ny az �ramutat� ir�ny�val ellent�tes. Projekt�v transzform�ci� - Egyenesekre vonatkoz� transzform�ci�k A p pontot az M transzform�ci� m�trix a p' pontba viszi �t (pT'=pTM). Az e egyenes egy�tthat�it az M transzform�ci� ut�n az e'=M-1e �sszef�gg�s alapj�n kaphatjuk meg. Transzforn�ci�k konkaten�l�sa Egy pontra t�bb elemi transzform�ci�t alkalmazva a k�vetkez� �sszef�gg�s ad�dik Mivel a m�trix szorz�s asszociat�v (csoportos�that�) a k�vetkez� alakban a fel�rhatjuk Azaz a transzform�ci�s m�trixok szorzat�t el�re kisz�m�thatjuk �s egy ered� M transzform�ci�s m�trixot �rhatunk fel.Figyelembe kell venni, hogy a m�trix szorz�s nem kommutat�v m�velet, �gy a transzform�ci�s m�trixok sorrendj�t nem szabad felcser�lni. Transzform�ci�k ellentettje Egy M transzform�ci� ellentetj�t a transzform�ci�s m�trix inverz�vel fejezhetj�k. Az eddig fel�rt elemi transzform�ci�k mindegyike invert�lhat� (rangjuk 3). Az egyes elemi transzform�ci�k ellentett transzform�ci�ja �s az eredeti transzform�ci�s m�trix inverze azonos. P�ld�ul a 30 fokos forgat�s transzform�ci�s m�trix�nak az inverze a m�nusz 30 fokos forgat�s transzform�ci�s m�trix�val azonos. P�ld�ul egy tetsz�leges pont k�r�li elforgat�st h�rom elemi transzform�ci� felhaszn�l�s�val hajthatjuk v�gre. a koordin�tarendszer orig�j�nak eltol�sa a forgat�s k�z�ppontj�ba forgat�s az orig� k�r�l a koordin�tarendszer visszatol�sa az eredeti helyzet�be, az 1 transzform�ci� inverze Lek�pz�si transzform�ci� A sz�m�t�g�pes grafik�ban gyakran kell transzform�lnunk a vil�g koordin�tarendszer (ez az a koordin�tarendszer, melyben a geometriai alakzatok jellemz� pontjainak koordin�t�it t�roljuk) �s a k�perny� koordin�tarendszer k�z�tt. Jellmz�en a vil�g koordin�tarendszer egy t�glalap alak�, koordin�tatengelyekkel p�rhuzamos tartom�ny�t k�pezz�k le a k�p koordin�tarendszer egy t�glalap alak� tartom�ny�ba. A lek�pz�si transzform�ci� elemi transzform�ci�i, a vil�g koordin�tarendszer orig�j�nak eltol�sa a megjelen�tend� r�sz bal fels� sark�ba (a k�perny� koordin�tarendszer pozit�v y tengelye lefel� mutat), a koordin�tarendszer t�kr�z�se az x tengelyre, m�retv�ltoztat�s a tengelyek ment�n, eltol�s a k�perny� koordin�tarendszerben. Az ily m�don l�trehozott lek�pz�si transzform�ci� inverz�vel a k�perny� koordin�t�kat (eg�r mutat� poz�ci�ja) vissza tudjuk transzform�lni a vil�g koordin�tarendszerbe. Tov�bbi probl�m�t jelent, hogy a megjelen�t�sre kiv�lasztott t�glalapon k�v�li r�szeket nem szabad megjelen�teni. Ennek megold�s�t az ablakv�g�si m�dszerekn�l t�rgyaljuk. 3D-s transzform�ci�k Eltol�s   Sk�l�z�s Az x, y �s z tengely ment�n elt�r� m�retszorz� be�ll�t�sa Az x, y �s z tengely ment�n azonos m�retszorz� be�ll�t�sa Az X, Y, Z tengely k�r�li forgat�s alfa sz�ggel A h�romdimenyi�s transzform�ci�k eset�n az elemi forgat�si transzform�ci� a tengely k�r�li forgat�s. Ennek megfelel�en h�romf�le forgat�si transzform�ci� �rhat� fel. Az X tengely k�r�li forgat�s alfa sz�ggel Az Y tengely k�r�li forgat�s alfa sz�ggel A Z tengely k�r�li forgat�s alfa sz�ggel Perspekt�v transzform�ci� A perspekt�v transzform�ci� a h�romdimenzi�s koordin�t�kb�l k�tdimenzi�s koordin�t�kat �ll�t el�. Az ilyen dimenzi� cs�kkent� transzform�ci�nak nem l�tezik inverze. A h�romdimenzi�s testek �br�zol�s�n�l �ltal�ban meg kell oldani a takart vonalak vagy takart fel�letek probl�m�j�t is. Ehhez sz�ks�g van a k�ps�kt�l m�rt t�vols�gra is, ez�rt olyan transzform�ci�t vezet�nk be, mely a perspekt�v m�lys�get is meg�rzi. Transzform�ci� az elt�n�si pontok alapj�n Prespekt�v traszform�ci� tetsz�leges n�z�pont �s k�ps�k helyzet eset�n Adott a n�z�pont (Xe, Ye, Ze) �s a k�ps�k k�z�ppontj�nak (Xk, Yk, Zk) helyzete. Az orig� eltol�sa a n�z�pontba Forgat�s az x �s y tengely k�r�l, hogy a z tengely a n�z�pont �s a k�ps�k k�z�ppont egyenes�be ker�lj�n Perspekt�tv transzform�ci� Bolyai J�nos �j, m�s vil�ga BOLYAI J�NOS minden id�k egyik legnagyobb �s legeredetibb gondolkod�s� matematikusa volt �s a legforradalmibb tudom�nyos alkot�k k�z� tartozott. �desapja Bolyai Farkas hadm�rn�k volt, fia 1802 december 15.-�n sz�letett Kolozsv�ron. Tavaly volt a 200. �vfordul�ja, �s orsz�gszerte megeml�keztek r�la. Sajnos mi akkor ezt ne tett�k meg, de �gy gondolom minden �vben megtehetj�k, az ir�nta val� tisztelet jel��l, hiszen feledni �gysem lehet e tragikus sors� l�ng�szt. "Bolyai J�nos 12 �ves kor�t�l szakadatlanul foglalkozott a "parallel�k" hatalmas probl�m�j�val.1823-ban ezeket a sorokat �rta Temesv�rr�l �desapj�nak:"A felt�telem m�r megvan, �ll, hogy mihelyt rendbe szedem, elk�sz�tem,'s m�d lesz , a'parallel�kr�l egy munk�t adok ki;....�des-Ap�m meg-esmeri; most t�bbet nem sz�lhatok, csak annyit, hogy "A SEMMIB�L EGY �J M�S VIL�GOT TEREMTETTEM" De mi is ez a nagy felfedez�s amely alapjaiban "megrengette" az akkori vil�got? Az antik g�r�g�k nagy tal�lm�nya a GEOMETRIA. Az antik g�r�g geometria alkalmazhat�s�ga els�sorban annak k�sz�nhet�, hogy �ll�t�sait "n�h�ny alapigazs�gb�l" vezeti le. Nem sz�ks�ges teh�t a term�szet minden jelens�g�t k�zvetlen tapasztalatb�l megismerni, el�g csup�n n�h�ny elemi, minden ember sz�m�ra nyilv�nval� alapigazs�g-�gynevezett- Axioma-megismer�se tapasztalat alapj�n. Ut�na m�r minden egy�b tapasztalatilag alig hozz�f�rhet� t�nyt az axi�m�k igazs�g�ra t�maszkodva puszt�n gondolkod�s �tj�n be tudunk bizony�tani. Az elmondottak alapj�n, el�g vil�gos, hogy a geometria tudom�ny�ban minden axi�m�kon m�lik. De a geometria axi�m�i k�z�tt, amelyeket Eukleid�sz, alexandriai matematikus �ll�tott �ssze i.e.300 k�r�l, az "V.posztul�tum, vagy XI. axi�ma n�ven szerepel egy olyan �ll�t�s is, amelynek igazs�ga egy�ltal�ban nem nyilv�nval�, mint a t�bbi axi�m��. Ez s�kra vonatkoztatva, �gy mondhat� ki: ha a P pont nincs az E egyenesen, akkor a P ponton egyetlen E-vel p�rhuzamos egyenes halad kereszt�l. De mi is az a p�rhuzamos? Ugyanazon k�t s�k egyenes�t akkor nevezz�k p�rhuzamosnak, ha sohasem metszik egym�st. A gyakorlatban ezt csak �gy tudn�nk bebizony�tani, hogy v�gig j�rn�nk az egyik egyenest. De ezt a v�gtelen hossz� utat lehetetlen megtenni. Az V. posztul�tumnak az az �ll�t�sa teh�t, hogy az E egyeneshez csak egy p�rhuzamost h�zhatunk nem nyilv�nval�, ez�rt ez a posztul�tum kir� a t�bbi axioma k�z�l. 2000 �vig "gy�t�rte" ez az axioma a vil�g tud�sait, m�g megsz�letett az a gondolat, hogy az V.posztul�tum tal�n nem is "alapigazs�g" hanem a t�bbi axi�ma "k�vetkezm�nye". Fel kellene fedezni teh�t az V.posztul�tum "bizony�t�s�t" a t�bbi axi�ma alapj�n. A nagy k�rd�sre 2000 �vig senki sem tal�lta meg a v�laszt. Bolyai J�nos el�sz�r mint el�tte sokan m�sok: feltette, hogy az V. posztul�tum hamis, �s azt rem�lte, hogy ebb�l valamilyen ellentmond�sra bukkan, ami azt igazoln�, hogy feltev�se helytelen, vagyis az V. posztul�tum �ll�t�sa m�giscsak igaz. Bolyai is kereste a "hib�t", mint annyian el�tte, Saccheri, Lambert, Lagrange vagy Bolyai Farkas. Kereste �s nem tal�lta! Ekkor j�tt r� arra a rendk�v�li jelent�s�g� gondolatra, hogy az�rt nem tal�l ilyen hib�t, mert "Nincs ilyen Hiba!" Bolyai J�nos l�ngesze �szrevette, hogy a geometria k�zvetlen�l nem azt �rja le, milyen a vil�g, hanem csak eszk�ze a vil�g megismer�s�nek: azt �rja le milyen lehet a vil�g. A geometria rendet csin�l a vil�gr�l alkotott felfog�sunkban �s megmutatja az utat, amerre j�rnunk kell. Teh�t az V.posztul�tum elhagy�s�val a megmarad� axi�m�kb�l fel�p�thet� egy olyan geometriai tudom�ny, amely " �j, m�s vil�g" lehet�s�g�t is fel�leli de mag�ba foglalja k�l�nleges esetk�nt az V.posztul�tumot elfogad� eukleid�szi geometri�t is, de egy m�sik nem eukleid�szi geometri�t is tartalmaz, amelyben m�r az V.posztul�tum nem alapigazs�g. Ezt az �j eukleid�szi �s nem eukleid�szi geometri�t foglal� tudom�nyt nevezte el Bolyai J�nos ABSZOL�T GEOMERI�NAK. Az abszol�t geometria a tudom�nyos kutat�sok el�tt �j lehet�s�geket t�rt fel. Az eg�sz matematik�t megr�zta ez az �j, nagyszer� felfedez�s. Bolyai tiszt�ban volt �j m�s vil�ga forradalmi mer�szs�g�vel is, amely szinte c�folhatatlanul bebizony�totta az eukleid�szi geometria megingathatatlannak l�tsz� igazs�gait. T�bb �r�sos el�zm�ny ut�n ez jelent meg apja "TENTAMEN" c�m� k�nyve f�ggel�kek�nt "A P P E N D I X" c�men. Az "Appendix-ben" fel�ll�tott t�telek t�bbs�ge "abszol�t igaz", mert egyar�nt �rv�nyes az eukleid�szi �s a p�rhuzamoss�gi axi�ma tagad�s�ra f�l�p�tett �gynevezett hiperbolikus geometri�ban. �ri�s volt � a tud�sok k�z�tt, ugyanakkor t�rhetetlen sz�nd�k� az igazabb, jobb vil�got keres�k k�z�tt. Vil�gra sz�l� felfedez�, aki minden erej�vel kutatta az igazs�got, s a magyar n�p b�szke szeretettel �leli mag�hoz az igazs�g�rt oly sokat szenvedett l�nglelk� fi�t." Felhaszn�lt �s aj�nlott irodalom: Foley, van Dam, Feiner, and Hughes: "Sz�m�t�g�pes grafika: Alapelvek �s gyakorlat" c. Dr. Szirmay-Kalos L�szl�: Sz�m�t�g�pes grafika, 2001 Scharnitzky Viktor: Vektorgeometria �s line�ris algebra, 1999 (alap!) L. Ammeraal: Programming Principles in Computer Graphics B�rczy-Barnab�s: Differenci�lsz�m�t�s, 2001 Turcs�nyi Tam�s, Debreceni Egyetem, 2000 Koz�k Rolland, Szegedi Tudom�nyegyetem Budai Attila: Sz�m�t�g�pes grafika, 1999 F�zi J�nos: Grafikai Alkalmaz�sok Delphi Nyelven, 2000 F�zi J�nos: 3 dimenzi�s grafika �s anim�ci� IBM PC-n F�zi J�nos: Interakt�v grafika, 1997 Internetes publik�ci�k